16. Con tres cifras iguales
Procuremos profundizar en este intrigante fenómeno y aclarar por qué, cuando con las cifras se establece una potencia de potencia, unas veces se obtienen números enormemente altos y otras, no. Examinemos el caso general.. Obténgase el número más elevado posible dado por tres cifras iguales prescindiendo de todo signo.
Representemos la cifra con la letra a. A la distribución
222, 333, 444
corresponde la expresión
a(10a + a) , es decir a11a
La potencia de potencia, en su aspecto general, se presenta así:
a
Determinemos cuál ha de ser el valor de a para que la última variante sea de mayor magnitud que
la primera. Como quiera que ambas potencias tienen idéntica base entera, a mayor exponente
corresponderá mayor valor. ¿En qué caso
aa > 11a?
Dividamos ambos miembros de la desigualdad por a, y tendremos
aa-1 > 11.
Es fácil determinar que aa-1 es mayor que 11 sólo en el caso en que a sea mayor que 3, puesto que
44 - 1 > 11
en tanto que las potencias
32 y 21
son menores que 11.
Quedan, pues, explicadas las sorpresas con que hemos tropezado al resolver los problemas
precedentes: para los doses y los treses había que servirse de potencias con exponentes de dos
cifras, para los cuatros y cifras mayores tiene que emplearse la potencia de potencia
