Los cuatro doses
Problema
Resolvamos este problema tratándose de doses. ¿Cómo deben disponerse cuatro doses para que
adquieran su máximo valor?
Solución
Las combinaciones posibles son 8:
2222, 2222, 2222, 2222,
((22)2 )2 , ((2)22 )2, ((2)2)22, (((2)2 )2 )2
¿Cuál de estos valores es el mayor?
Examinemos la primera fila.
El primer número, 2.222, es a todas luces menor que las tres potencias que le siguen. Para
establecer una comparación entre las dos siguientes
2222 y 2222,
transformemos la segunda de ellas:
2222 = 222*11 = (222)11 = 48411.
Esta última es mayor que 2222, ya que tanto la base como el exponente son mayores que los de
2222.
Comparemos ahora 2222 con 2222 . Sustituyamos 2222 por otra magnitud superior, 3222 y veremos
que incluso ésta es menor que 2222.
En efecto,
3222 = (25)22 = 2110
que es menor que 2222.
Quedamos, pues, en que el valor más elevado de la primera fila es 2222. Comparemos ahora la
mayor potencia de la primera fila y las cuatro de la segunda:
((22)2 )2 , ((2)22 )2, ((2)2)22, (((2)2 )2 )2
La última potencia es sólo igual a 216, por lo que queda eliminada. Prosigamos. La primera de
esta fila equivale a 224 y es menor que 324 o que 220, por cuya razón es inferior a las dos que la
siguen. Quedan sólo tres potencias a comparar, todas de base 2. Es evidente que será mayor
aquella que tenga mayor exponente. De los tres
222, 484 y 220+2 (= 210*2 * 22 »106 * 4)
el último es el mayor.
Por eso, el valor más elevado que pueden tomar los cuatro doses vendrá expresado como sigue:
((2)2)22
Sin recurrir a la tabla de logaritmos podernos imaginarnos aproximadamente la magnitud de esta
potencia valiéndonos de un número aproximado:
210 » 1 000.
Y así es, en efecto:
222=220 * 22 » 4 * 106
((2)2)22 » 24000000 > 101200000.
Este número consta de más de un millón de cifras.
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